Der goldene Schnitt

Der Goldene Schnitt (lat. sectio aurea) ist eines der ältesten Proportionsmaßverhältnisse.

Die Definition des Goldenen Schnitt hat seinen Ursprung in der Natur, z. B. beim Betrachten eines Gemäldes (oder Foto) mit einem Sonnenuntergang über dem Meer, empfinden wir die richtige Bildproportion wenn das Verhältnis zwischen Himmel und Erde ca. 3 zu 5 Teile ist.Der Mathematiker EUKLID hat den Goldenen Schnitt zum ersten mal beschrieben. Der Name war zu jener Zeit "proportio habens medium et duo extrema", was übersetzt etwa "Teilung im äusseren und mittleren Verhältnis" bedeutete. Diese Teilung wurde vorwiegend im Zusammenhang mit dem Fünfeck oder dem Pentagramm (der gleichmässig, fünfzackige Stern, der entsteht, wenn man die Diagonalen des Fünfecks einzeichnet), das den Goldenen Schnitt mehrfach beinhaltet, genannt.

Die heutige Definition für den Goldenen Schnitt lautet: Das Verhältnis der kleinen Strecke k zur grossen g verhält sich wie die grosse Strecke g zur Gesamtstrecke s

Die Berechnung des Goldenen Schnitt

Gleichung 1

Gleichung 2

Gleichung 3

s = k + g

k		g
—	=	—
g		s

k		g
—	=	—
g		k + g

Nach der Umstellung von Gleichung 3 ergibt sich:

k = 0,618033988749894848204586834... * g

Daraus ergibt sich ein Seitenverhältnis von
1 : 1,6180339887498948482045868353229...
(Kehrwert von k)

Mit dieser Zahl lässt sich nur schwer Rechnen. Die Griechen faszinierte das Verhältnis natürlicher Zahlen zueinander. Sie suchten nach dem Rhythmus, den Proportionen, der Harmonie zwischen Zahlen. Zum Beispiel in einer Folge, die auf der Summe und dem grösseren Summanden des vorangegangenen Rechenschritts aufbaut:

1	+	2	=	3
	2	+	3	=	5
		3	+	5	=	8
			5	+	8	=	13
				8	+	13	=	21

Ein besonderes Verhältnis gibt es hier zwischen drei Zahlen: Die 13 ist die Summe aus 5 und 8, das Grössenverhältnis zwischen 13 und 8 ist nahezu genauso gross wie das zwischen 8 und 5 — etwa 1,62. Dieses Grössenverhältnis entspricht etwa dem Golden Schnitt. Mann kann also das Grössenverhältnis des Golden Schnitt mit dem Zahlenverhältnis 5:8 oder 8:13 annähernd definieren.

Die Konstruktion des Goldenen Schnitt

• Innere Teilung

Die Hälfte der Strecke AB wird senkrecht auf B abgetragen. Um den entstehenden Punkt C wird mit dem Radius CB ein Kreisbogen geschlagen. Der Schnittpunkt des Kreises mit der Strecke AC heisst D. Um A wird ein Kreisbogen mit dem Radius AD geschlagen. Der Schnittpunkt des Kreises mit AB teilt die Strecke AB im Goldenen Schnitt.

• Äussere Teilung

Über der Strecke AS wird ein Quadrat mit der Seitenlänge AS errichtet. Von M, der Mitte der Strecke AS, wird ein Kreisbogen mit dem Radius MC geschlagen. Die Strecke AS schneidet die Strecke AB im Goldenen Schnitt, wobei B der Schnittpunkt des Kreises mit der Verlängerung von AS ist.

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Der goldene Schnitt

Dirk Eubel